基于用户投票的排名算法（六）：贝叶斯平均

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（这个系列实在拖得太久，今天是最后一篇。）
                                                                                                                上一篇介绍了"威尔逊区间"，它解决了投票人数过少、导致结果不可信的问题。
举例来说，如果只有2个人投票，"威尔逊区间"的下限值会将赞成票的比例大幅拉低。这样做固然保证了排名的可信性，但也带来了另一个问题：排行榜前列总是那些票数最多的项目，新项目或者冷门的项目，很难有出头机会，排名可能会长期靠后。
以IMDB为例，它是世界最大的电影数据库，观众可以对每部电影投票，最低为1分，最高为10分。

系统根据投票结果，计算出每部电影的平均得分。然后，再根据平均得分，排出最受欢迎的前250名的电影。

这里就有一个问题：热门电影与冷门电影的平均得分，是否真的可比？举例来说，一部好莱坞大片有10000个观众投票，一部小成本的文艺片只有100个观众投票。这两者的投票结果，怎么比较？如果使用"威尔逊区间"，后者的得分将被大幅拉低，这样处理是否公平，能不能反映它们真正的质量？
一个合理的思路是，如果要比较两部电影的好坏，至少应该请同样多的观众观看和评分。既然文艺片的观众人数偏少，那么应该设法为它增加一些观众。
在排名页面的底部，IMDB给出了它的计算方法。

　　
　　- WR， 加权得分（weighted rating）。
　　- R，该电影的用户投票的平均得分（Rating）。
　　- v，该电影的投票人数（votes）。
　　- m，排名前250名的电影的最低投票数（现在为3000）。
　　- C， 所有电影的平均得分（现在为6.9）。

仔细研究这个公式，你会发现，IMDB为每部电影增加了3000张选票，并且这些选票的评分都为6.9。这样做的原因是，假设所有电影都至少有3000张选票，那么就都具备了进入前250名的评选条件；然后假设这3000张选票的评分是所有电影的平均得分（即假设这部电影具有平均水准）；最后，用现有的观众投票进行修正，长期来看，v/(v+m)这部分的权重将越来越大，得分将慢慢接近真实情况。
这样做拉近了不同电影之间投票人数的差异，使得投票人数较少的电影也有可能排名前列。
把这个公式写成更一般的形式：

　　
　　- C，投票人数扩展的规模，是一个自行设定的常数，与整个网站的总体用户人数有关，可以等于每个项目的平均投票数。
　　- n，该项目的现有投票人数。
　　- x，该项目的每张选票的值。
　　- m，总体平均分，即整个网站所有选票的算术平均值。

这种算法被称为"贝叶斯平均"（Bayesian average）。因为某种程度上，它借鉴了"贝叶斯推断"（Bayesian inference）的思想：既然不知道投票结果，那就先估计一个值，然后不断用新的信息修正，使得它越来越接近正确的值。
在这个公式中，m（总体平均分）是"先验概率"，每一次新的投票都是一个调整因子，使总体平均分不断向该项目的真实投票结果靠近。投票人数越多，该项目的"贝叶斯平均"就越接近算术平均，对排名的影响就越小。
因此，这种方法可以给一些投票人数较少的项目，以相对公平的排名。
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"贝叶斯平均"也有缺点，主要问题是它假设用户的投票是正态分布。比如，电影A有10个观众评分，5个为五星，5个为一星；电影B也有10个观众评分，都给了三星。这两部电影的平均得分（无论是算术平均，还是贝叶斯平均）都是三星，但是电影A可能比电影B更值得看。
解决这个问题的思路是，假定每个用户的投票都是独立事件，每次投票只有n个选项可以选择，那么这就服从"多项分布"（Multinomial distribution），就可以结合贝叶斯定理，估计该分布的期望值。由于这涉及复杂的统计学知识，这里就不深入了，感兴趣的朋友可以继续阅读William Morgan的How to rank products based on user input。
（完）